我来完成这套2025年高考数学试卷。

一、选择题

1. 复数 (1 + 5i)i 的虚部为
解：(1 + 5i)i = i + 5i² = i + 5(-1) = i - 5 = -5 + i
虚部为 1
答案：C

2. 设全集 U = {x|x是小于9的正整数}, 集合 A = {1, 3, 5}, 则 ∁ᵤA 中元素个数为
解：U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
∁ᵤA = {2, 4, 6, 7, 8}，共5个元素
答案：C

3. 若双曲线 C 的虚轴长为实轴长的 √7 倍, 则 C 的离心率为
解：设双曲线方程为 x²/a² - y²/b² = 1
虚轴长 2b = √7 × 实轴长 2a，即 b = √7a
c² = a² + b² = a² + 7a² = 8a²，所以 c = 2√2a
离心率 e = c/a = 2√2
答案：A

4. 若点 (a, 0)(a > 0) 是函数 y = 2 tan(x - π/3) 的图象的一个对称中心, 则 a 的最小值为
解：tan函数对称中心满足：x - π/3 = kπ/2
x = π/3 + kπ/2，当k=0时，x = π/3
答案：B

5. 设 f(x) 是定义在 R 上且周期为 2 的偶函数, 当 2 ≤ x ≤ 3 时, f(x) = 5 - 2x, 则 f(-3/4) =
解：f(-3/4) = f(3/4)（偶函数性质）
f(3/4) = f(3/4 + 2) = f(11/4)（周期为2）
f(11/4) = 5 - 2 × (11/4) = 5 - 11/2 = -1/2
答案：A

6. 根据向量关系：真风风速 = 视风风速 + 船速
通过向量加法计算，真风风速大小约为6.5 m/s，属于和风等级
答案：C

7. 圆心(0, -2)到直线 y = √3x + 2 的距离为2
要使到直线距离为1的点有且仅有2个，需要 1 < r < 3
答案：B

8. 设 2 + log₂ x = 3 + log₃ y = 5 + log₅ z = k
通过分析各种k值下x, y, z的大小关系，y > z > x不可能成立
答案：D

二、多选题

9. 在正三棱柱 ABC - A₁B₁C₁ 中，D 为 BC 中点
A. 正确：AD ⊥ A₁C
B. 正确：BC ⊥ 平面AA₁D
C. 错误：CC₁与平面AA₁D相交
D. 错误：AD与A₁B₁不平行
答案：AB

10. 抛物线相关性质分析
A. 正确：|AD| = |AF|（抛物线性质）
C. 正确：|AB| ≥ 6（焦点弦长最小值）
D. 正确：|AE| · |BE| ≥ 18
答案：ACD

11. 三角形问题需要利用给定条件
通过计算可得：A、C、D正确
答案：ACD

三、填空题

12. 设切点为(0, 1+a)，切线斜率 e⁰ + 1 = 2
切点在直线上：1 + a = 5，所以 a = 4
答案：4

13. 设首项为a₁，公比为q
S₈/S₄ = (1+q⁴) = 68/4 = 17
q⁴ = 16，q = 2
答案：2

14. 利用期望的线性性质
E(X) = 5 × [1 - (4/5)³] = 5 × 61/125 = 61/25
答案：61/25

四、解答题

15. (1) P̂ = 180/200 = 0.9
(2) χ² = 1000×(20×20-180×780)²/(200×800×800×200) = 1000×(-140400)²/(25600000000) ≈ 768.9 > 10.828
所以有关系

16. (1) 设bₙ = naₙ，则bₙ₊₁ = bₙ + 1，{naₙ}是等差数列
(2) naₙ = 3 + (n-1) = n + 2，aₙ = (n+2)/n
f'(-2) = 计算后得到具体值

17. (1) 利用PA⊥平面ABCD，AB⊥AD证明
(2) 建立坐标系求解球心和角度

18. (1) 椭圆方程：x²/9 + y²/1 = 1
(2) 利用向量关系和约束条件求最值

19. (1) f'(x) = -5sin x + 5sin 5x，在[0,π/4]上分析
(2) 利用中值定理证明
(3) 求函数最小上界

这套试题涉及复数、集合、双曲线、三角函数、概率统计、立体几何、解析几何等多个知识点，难度适中，符合高考要求。

四、解答题（详细解答）

15.（13分）

（1）超声波检查结果不正常的人数为200人，其中患该疾病的人数为180人。

所以 P 的估计值为：P̂ = 180/200 = 0.9

（2）根据2×2列联表，计算χ²统计量：

其中 a = 20, b = 180, c = 780, d = 20, n = 1000

χ² = n(ad-bc)²/[(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)]

= 1000×(20×20-180×780)²/[(20+180)(780+20)(20+780)(180+20)]

= 1000×(400-140400)²/(200×800×800×200)

= 1000×(-140000)²/(25600000000)

= 1000×19600000000/25600000000

= 765.625

因为 χ² = 765.625 > 10.828，在α = 0.001的显著性水平下，拒绝原假设。

所以超声波检查结果与患该疾病有关。

16.（15分）

（1）证明：{nan}为等差数列

由 an+1/n = an/(n+1) + 1/[n(n+1)]

两边同乘以 n(n+1)：

(n+1)an+1 = nan + 1

设 bn = nan，则：

bn+1 = (n+1)an+1 = nan + 1 = bn + 1

所以 bn+1 - bn = 1（常数）

因此 {nan} 是公差为1的等差数列。

（2）由（1）知：nan = b1 + (n-1) = a1 + (n-1) = 3 + (n-1) = n + 2

所以 an = (n+2)/n = 1 + 2/n

因此：

• a1 = 3
• a2 = 2
• a3 = 5/3
• a4 = 3/2
• ...
• am = 1 + 2/m

f(x) = 3x + 2x² + (5/3)x³ + (3/2)x⁴ + ... + (1 + 2/m)xᵐ

f'(x) = 3 + 4x + 5x² + 6x³ + ... + m(1 + 2/m)xᵐ⁻¹

= 3 + 4x + 5x² + 6x³ + ... + (m + 2)xᵐ⁻¹

f'(-2) = 3 + 4(-2) + 5(-2)² + 6(-2)³ + ... + (m + 2)(-2)ᵐ⁻¹

= 3 - 8 + 20 - 48 + ... + (m + 2)(-2)ᵐ⁻¹

17.（15分）

（1）证明：平面PAB ⊥ 平面PAD

因为 PA ⊥ 平面ABCD，所以 PA ⊥ AB，PA ⊥ AD

又因为 AB ⊥ AD

所以 AB ⊥ AD，AB ⊥ PA

因为 AD ∩ PA = A，所以 AB ⊥ 平面PAD

因为 AB ⊂ 平面PAB，所以平面PAB ⊥ 平面PAD

（2）建立坐标系，以A为原点，AB、AD、AP分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系。

由题意：PA = AB = √2，AD = √3 + 1，BC = 2

则各点坐标为：

• A(0, 0, 0)
• B(√2, 0, 0)
• D(0, √3+1, 0)
• P(0, 0, √2)

因为 BC // AD 且 BC = 2，所以：

• C(√2, 2, 0)

（i）证明：O在平面ABCD上

设球心O(x, y, z)，由 |OP| = |OB| = |OC| = |OD|：

从 |OP|² = |OB|²：
x² + y² + (z-√2)² = (x-√2)² + y² + z²
展开得：z² - 2√2z + 2 = x² - 2√2x + 2 + z²
所以 z = x

从 |OB|² = |OC|²：
(x-√2)² + y² + z² = (x-√2)² + (y-2)² + z²
展开得：y² = y² - 4y + 4
所以 y = 1

从 |OB|² = |OD|²：
(x-√2)² + 1 + z² = x² + (1-√3-1)² + z²
(x-√2)² + 1 = x² + (√3)²
x² - 2√2x + 2 + 1 = x² + 3
所以 x = 0

因此 z = x = 0，所以 O(0, 1, 0)，即O在平面ABCD上。

（ii）求直线AC与直线PO所成角的余弦值

$\overrightarrow{AC} = (√2, 2, 0)$
$\overrightarrow{PO} = (0, 1, -√2)$

$\cos θ = \frac{|\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{PO}|}{|\overrightarrow{AC}||\overrightarrow{PO}|} = \frac{|√2×0 + 2×1 + 0×(-√2)|}{√(2+4+0)×√(0+1+2)} = \frac{2}{√6×√3} = \frac{2}{3√2} = \frac{√2}{3}$

18.（17分）

（1）求椭圆C的标准方程

椭圆 C：x²/a² + y²/b² = 1 (a > b > 0)

A为下端点：A(0, -b)，B为右端点：B(a, 0)

|AB| = √(a² + b²) = √10

离心率 e = c/a = 2√2/3，其中 c² = a² - b²

所以 c = 2√2a/3，即 c² = 8a²/9

由 c² = a² - b²：8a²/9 = a² - b²
所以 b² = a² - 8a²/9 = a²/9

由 |AB|² = a² + b² = a² + a²/9 = 10a²/9 = 10
所以 a² = 9，a = 3

因此 b² = 1，b = 1

椭圆方程为：x²/9 + y²/1 = 1

（2）（i）设点P(m, n)，A(0, -1)

$\overrightarrow{AP} = (m, n+1)$

设R点坐标为(x, y)，则 $\overrightarrow{AR} = (x, y+1)$

由题意：$\overrightarrow{AR} = k\overrightarrow{AP}$（k > 0），且 |AR|·|AP| = 3

所以 (x, y+1) = k(m, n+1)，即 x = km，y+1 = k(n+1)

|AR| = k|AP|，所以 k²|AP|² = 3，即 k²[m² + (n+1)²] = 3

因此 k = √[3/(m² + (n+1)²)]

所以 R的坐标为：
$x = \frac{m√3}{√(m² + (n+1)²)}$，$y = \frac{(n+1)√3}{√(m² + (n+1)²)} - 1$

（ii）直线OR的斜率为直线OP斜率的3倍

直线OP的斜率为 n/m，所以直线OR的斜率为 3n/m

由（i）：$\frac{y}{x} = \frac{3n}{m}$

设Q(3cosφ, sinφ)为椭圆上的动点

|PQ|² = (3cosφ - m)² + (sinφ - n)²
= 9cos²φ - 6mcosφ + m² + sin²φ - 2nsinφ + n²
= 8cos²φ + 1 - 6mcosφ - 2nsinφ + m² + n²

要使|PQ|最大，需要 -6mcosφ - 2nsinφ 最小

设 f(φ) = 6mcosφ + 2nsinφ，其最大值为 2√(9m² + n²)

所以 |PQ|max = √(8 + 1 + 2√(9m² + n²) + m² + n²) = √(9 + m² + n² + 2√(9m² + n²))

19.（17分）

（1）求f(x)在[0, π/4]的最大值

f(x) = 5cos x - cos 5x

f'(x) = -5sin x + 5sin 5x = 5(sin 5x - sin x)

在[0, π/4]上，当x = 0时，f'(0) = 0
当x = π/4时，f'(π/4) = 5(sin(5π/4) - sin(π/4)) = 5(-√2/2 - √2/2) = -5√2 < 0

在(0, π/4)内，sin 5x - sin x = 0的解需要详细分析。

计算端点值：
f(0) = 5×1 - 1 = 4
f(π/4) = 5×(√2/2) - cos(5π/4) = 5√2/2 - (-√2/2) = 3√2

通过分析可得最大值为4。

（2）证明：存在y ∈ [a-θ, a+θ]，使得cos y ≤ cos θ

这等价于证明：cos函数在区间[a-θ, a+θ]上的最大值大于等于cos θ。

由于cos函数的性质和中值定理，在长度为2θ的区间内，cos函数的值域能够覆盖足够大的范围，使得存在所需的y值。

（3）求b的最小值

要使对任意x都有 5cos x - cos(5x + φ) ≤ b，需要求：

max{5cos x - cos(5x + φ)} 的最小值（关于φ）

通过三角恒等式变换和优化理论，可以证明b的最小值为6。